bilangan

Visualisasi Bubble Sort tanpa VBA

Sorting atau mengurutkan data merupakan hal biasa dalam spreadsheet seperti Excel, tinggal memilih data yang tidak urut,  lalu klik menu ‘sort’ maka data secara otomatis berurutan.

Excel ini tidak membahas perintah sorting yang sudah tersedia, namun sebagai media pembelajaran tentang sorting. Dalam ilmu matematika atau IT, algoritma pengurutan merupakan topik yang dibahas khusus, karena menyangkut efisiensi waktu untuk mendapatkan hasil yang diinginkan. Jika data yang diurutkan sedikit, misalnya kurang dari 20 data, masalah sorting nampak sederhana, namun jika data berjumlah ratusan, jutaan atau lebih dari itu maka teknik yang tepat sangat dibutuhkan. Dalam tautan ke wikipedia di atas bisa dilihat berbagai macam algoritma pengurutan, seperti : bubble sort, merge sort, quick sort, insertion sort, dan masih banyak lagi.

Bubble sort, merupakan salah satu algoritma pengurutan yang sederhana. Bagaimana metode dan perbandingan dengan metode yang lain dapat kita cari di mesin pencarian atau beberapa tutorial di youtube. Excel kali ini akan membuat visualisasi bubble sort secara interaktif yang dapat dimanfaatkan untuk belajar mandiri tentang algoritma sort maupun untuk menjelaskan di depan kelas.

Kapasitas input datanya hanyalah untuk 20 data, dan karena tanpa menggunakan bahasa pemrograman atau VBA, maka fokus excel ini adalah pada bagaimana langkah demi langkah bubble sort dijalankan menggunakan fungsi-fungsi excel yang tersedia, ditambah grafik. Berikut adalah penampakan excel visualisasi bubble sort.

Secara prinsip bubble sort memeriksa satu persatu secara berurutan dari awal data hingga akhir, apabila data kiri lebih besar dari data kanan maka akan dilakukan pertukaran seperti nampak pada gambar di bawah, demikian seterusnya sampai data terakhir.

Pada bagian bawah sebenarnya dapat dilihat tabulasi detil langkah per langkah bubble sort tanpa visualisasi.

Silakan mencoba mengembangkan sendiri. Excel ini bebas untuk dimodifikasi untuk keperluan apapun dan siapapun. Silakan unduh file bubblesort.xlsx di tautan di bawah ini:

unduh file excel

 

Segitiga Pascal dan Galton Board

Dalam matematika, segitiga Pascal adalah suatu aturan geometri pada koefisien binomial dalam sebuah segitiga. Segitiga tersebut diberi nama berdasarkan oleh nama Blaise Pascal dalam kebanyakan dunia barat, meskipun ahli matematika lain telah mengkajinya berabad-abad sebelum dia di India, Persia, Tiongkok, dan Italia.

Mari kita membuat segitiga pascal menggunakan excel. Caranya cukup mudah, ketik angka ‘1’ sebagai puncak dari segitiga, dalam gambar sel X4 diisi angka ‘1’. Lalu sel-sel di bawah berturut-turut merupakan penjumlahan dari sel di sebelah kiri dan kanan, misal sel V6 diisi dengan formula ‘=U5+W5’. Dengan bentuk yang diatur membentuk segitiga, maka dapat dihasilkan pola segitiga Pascal seperti gambar di bawah.

Deret segitiga Pascal ini “hanya” sampai 20 tingkat, karena angkanya yang secara drastis membesar. Walaupun excel mampu menangani angka yang besar, namun untuk keperluan pembelajaran dicukupkan hingga 20 tingkat saja.

Selain menggunakan rumus penjumlahan, ternyata segitifa Pascal dapat juga disusun di Excel menggunakan fungsi kombinasi “COMBIN()”. Dapat dilihat mulai sel AX4 pola yang sama disusun dengan fungsi COMBIN ini. Sebagai contoh pada sel AY8, untuk tingkat 4, kolom ke 2, maka fungsinya =COMBIN(4,1). Catatan : urutan tingkat dan kolom diawali dari 0 (nol)

Papan Galton (Galton Board)

Galton Board adalah papan permainan yang diciptakan oleh Sir Francis Galton berupa papan yang di dalamnya berisi rangkaian paku-paku yang disusun membentuk segitiga, paling atas ditancapkan 1 paku, berikutnya di bawahnya 2 paku, dan berurutan 3, 4, 5, dst seperti nampak pada gambar di bawah. Nanti sebuah atau beberapa buah bola/kelereng diluncurkan dari atas, karena letak paku-paku tersebut maka pergerakan bola pada setiap tingkat memiliki 2 pilihan jatuh ke sebelah kiri atau kanan dari tiap paku, demikian seterusnya sehingga dapat dilihat pada tingkat paling bawah, kolom mana yang memiliki peluang paling banyak masuknya. (sumber gambar : Wolfram Mathworld)

Segitiga Pascal dapat digunakan untuk mengetahui peluang masuknya bola untuk setiap kolom. Jika peluang jatuh ke kiri dan jatuh ke kanan untuk setiap paku sama, yaitu masing-masing 0,5 maka dari segitiga Pascal dapat dihitung peluangnya sebagai contoh pada tingkat 3, nilainya adalah 1, 3, 3, dan 1. Jumlah semuanya adalah 1+3+3+1 = 8, maka peluang tiap kolom berturut-turut : 1/8, 3/8, 3/8, dan 1/8. Perhitungan peluang ini semakin menarik jika dilanjutkan untuk tingkat yang lebih banyak, semisal hingga 20 tingkat seperti pada excel ini. Bila hasil pada tingkat ke-20 dibuat histogramnya (diagram batang) maka akan kita lihat, peluang pada bagian tengah memiliki nilai tertinggi, seperti terlihat pada gambar di bawah. Papan Galton ini kadang dipelajari dalam ilmu statistik, misalnya berkaitan dengan distribusi binomial.

Yang menarik adalah apabila peluang ke kiri dan ke kanan tidak seimbang, misal ke kiri = 0,75 dan ke kanan = 0,25 bagaimana distribusi peluang banyaknya bola dalam setiap kolom? Excel ini dapat mendemonstrasikan untuk hal tersebut, anda tinggal menggeser spin button di bagian kiri atas atau scroll bar di bagian bawah sheet ‘Galton’ pada excel ini.

Bila anda tertarik untuk mempelajari lebih lanjut, silakan mencoba sendiri. Excel ini bebas untuk dimodifikasi untuk keperluan apapun dan siapapun. Silakan unduh file segititgapascal.xlsx di tautan di bawah ini:

unduh file excel

Operasi Bilangan Kompleks di Excel

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk a + bi, di mana a merupakan bagian riil dan b adalah bagian imajiner. Umumnya mahasiswa ilmu matematika dan teknik menggunakan bilangan kompleks dalam berbagai perhitungan, sehingga memerlukan alat bantu seperti kalkulator atau perangkat lunak komputer.

Walau excel merupakan aplikasi perkantoran, ternyata dalam fungsi-fungsinya terdapat fungsi untuk melakukan operasi bilangan kompleks. Fungsi-fungsi tersebut antara lain: =COMPLEX, =IMSUM, =IMSUB, =IMPRODUCT, =IMDIV, =IMSQRT, =IMPOWER, =IMEXP, =IMLN, =IMLOG2, =IMLOG10, =IMSIN, =IMCOS, =IMTAN, =IMCOT, =IMSINH, dan =IMCOSH. (lebih…)

Visualisasi deret Fourier dengan Excel
Joseph Fourier

Joseph Fourier

Excel kali ini masih melanjutkan post tentang Visualisasi Operasi Matematika Fungsi Sinusoida.

Deret Fourier adalah penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan fungsi-fungsi berosilasi, yaitu fungsi sinus dan kosinus, diperkenalkan pertama kali oleh Joseph Fourier. Untuk fungsi periodik yang memiliki periode = 2π, persamaannya adalah :

f\left(x\right)=a_{0}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos{nx}+b_{n}\sin{nx}\right)

dengan

a_{0}=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f\left(x\right)dx

a_{n}=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f\left(x\right)\cos{nx}dx

b_{n}=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f\left(x\right)\sin{nx}dx

Penjelasan lebih detil tentang deret Fourier dapat dipelajari pada literatur atau buku teks yang ada. Namun terkadang untuk mempelajarinya diperlukan visualisasi untuk menjelaskan lebih mudah dimengerti. Excel ini bertujuan membantu untuk belajar atau mengajar tentang dasar deret Fourier, tentunya dengan batasan tertentu. Literatur khusus yang digunakan dalam excel ini adalah buku “Advanced Engineering Mathematics 10th Edition” oleh Erwin Kreyszig (2011).

Telah dijelaskan di persamaan di atas, Excel ini juga membatasi pada fungsi/sinyal yang memiliki periode = 2π. Jika diinginkan untuk fungsi dengan periode berbeda excel ini harus dimodifikasi. Berikut adalah tampilan excel visualisasi deret Fourier.

Fungsi periodik pada excel ini merupakan fungsi gabungan 2 garis lurus A-B dan C-D. Masing-masing koordinatnya adalah sebagai berikut A(0,y_A) , B(x_1,y_B) , C(x_1,y_C) , dan D(2\pi,y_D) .  Nilai variabel y_A, y_B, y_C, dan y_D diatur sendiri oleh pengguna dengan menggeser scrollbar dalam range nilai -1 hingga 1. Begitu pula untuk variabel x_1 dapat diatur antara range 0,05π hingga 1.95π. Hasil pengaturan variabel-variabel ini dapat menghasilkan kombinasi bentuk fungsi/sinyal input yang beragam, seperti contoh berikut :

Secara seketika setelah bentuk fungsi input dibentuk, maka pada tabel E24:G75 akan muncul koefisien Fourier dari fungsi input tersebut, yaitu a_{0}, a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3}, ... dan seterusnya hingga n=50. Proses mendapatkan koefisien-koefisien ini  tidak dijelaskan detil di blog dan excel ini. Jika diinginkan hingga n lebih dari 50 bisa dilanjutkan tabel tersebut dengan menyalin baris sebelumnya.

Di sebelah kanan tabel koefisien Fourier dapat dilihat grafik a_n dan b_n dan disebelahnya ditampilkan grafik masing-masing suku dari deret Fourier (fungsi sinus dan cosinus). Dan di atasnya tepat di sebelah kanan grafik sinyal input ditampilkan hasil penjumlahan deret Fourier. Tampilan ini bisa diatur untuk menentukan jumlah n suku pada deret Fourier yang diinginkan. Berikut contoh tampilan bila n = 4 dan n=15.

Diharapkan dari excel ini, pengguna dapat membandingkan sendiri fungsi asli/input dengan hasil penjumlahan deret Fourier. Nampak semakin besar n, maka hasil penjumlahan semakin mendekati fungsi asli. Juga dapat dilihat terjadinya fenomena Gibbs pada hasil penjumlahan deret Fourier. Selamat belajar!

Silakan memodifikasi dan unduh file fourier2.xlsx di tautan di bawah ini:

unduh file excel

Belajar Membaca Jam dengan Excel

Excel kali ini dapat digunakan untuk pembelajaran bagi anak-anak pada materi pengenalan pada waktu dan jam. Dengan menggeser scroll bar pada bagian atas, dapat diatur waktu dari 00:00 hingga 23:59. Pada tampilan jam analog akan menunjukkan waktu berdasar scroll bar tersebut. Pada bagian kanan muncul pengucapan dalam bahasa Indonesia dan bahasa Inggris untuk waktu tersebut.

Teknik menampilkan jam dan pengucapan dalam excel ini didasarkan pada database yang dibuat pada kolom AA dan seterusnya yang akan nampak bila sheet digeser ke kanan. Bila ada kesalahan silakan dikoreksi dengan memodifikasi sendiri excel ini. Selamat mencoba

 

Silakan memodifikasi dan unduh file belajarjam.xlsx di tautan di bawah ini:

unduh file excel